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量子力学作业答案

归档日期:07-08       文本归类:氦核流      文章编辑:爱尚语录

  量子力学作业答案_理学_高等教育_教育专区。量子力学 习题 绪论(1/3) ? 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值对 应

  量子力学 习题 绪论(1/3) ? 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值对 应的波长 与温度 成反比,即 (常量) 并近似计算 的数值,准确到二位有效数字。 证明: (1)求能量密度 ? (2)求极值 √ 1.绪论(2/3) ? ? 1.2 在 0 K 附近,钠的价电子能量约为 3 电子伏,求其德布 罗意波长。 解: 设自由电子的动能为 E,速度远小于光速,则 。根据 德布罗意波长的定义,有 √ 1.绪论(3/3) ? ? 1.3 氦原子的动能是 E = 3kT/2 ( k 为玻耳兹曼常数),求 T=1 K 时,氦原子的德布罗意波长。 解: 设动能为 E 的氦原子的速度远小于光速,则 。根据 德布罗意波长的定义,有 √ 2.波函数和薛定谔方程(1/4) ? ? 2.1 证明在定态中,概率流密度与时间无关 证明: (1)定态波函数 (2)概率流密度 概率流密度是坐标的函数,不显含时间,因此与时间无关 √ 2.波函数和薛定谔方程(2/4) ? 2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度: 从所得结果说明 表示向外传播的球面波, 表示向内 (即向原点)传播的球面波 解: (1)用到的公式 ? (2)由 , 计算概率流密度 分析 : 是向外传播的球面波, 是向原点传播的球面波 ? ? 与 同向:概率向外流动。 与 反向:概率流向原点 --, 的大小与 有关,与方位角无关:在相同径向坐 标 的曲面(即球面)上,概率流密度相等 √ 2.波函数和薛定谔方程(3/4) ? ? 2.3 一个粒子在一维势场中运 动,求粒子能级和对应的 波函数 解: (1)定态薛定谔方程 (2)解方程 ? 归一化 ? 能级 √ 2.波函数和薛定谔方程(3/4) (3)分析 ? 波函数和概率密度 :节点数 = n - 1 ? 能级 √ 2.波函数和薛定谔方程(4/4) ? ? 2.4 证明(2.6.-14)式中的归一化常数是 证明: (1) (2.6.-14)式的波函数 (2)归一化 分析:归一化常数与势阱宽度 a 的平方根成反比,也就是概 率幅与 a 成反比。a 与粒子坐标的测量有关,1/a 与动量的 测量有关;越小,表示坐标越容易测量,但动量越难测量 √ 3.量子力学中的力学量(1/6) ? 3.1 一维谐振子处在基态 (1) 势能的期望值 (3) 动量的概率分布函数 ,求 (2) 动能的期望值 ? 解: (1) 势能的期望值 (2) 动能的期望值 (3) 按动量的本征函数展开一维谐振子的基态 分析: 基态的动能与势能相等,各占总能量的一半; 动量越大,其概率分布越小,在零附近的概率最大 √ 3.量子力学中的力学量(2/6) ? 3.2 氢原子处在基态 (1) 的期望值 的期望值 ,求 (2) 势能 ? (3) 最可几的半径 (4) 动能的期望值 (5) 动量的概率分布函数 解: (0) 波函数正交归一化,令 (1) r 的期望值 (2) 势能 的期望值 √ 3.量子力学中的力学量(3/6) (3) 最可几的半径 (4) 动能的期望值 (5) 动量的概率分布函数 最可几的半径对应势能的期望值 分析: 基态能级 = 动能的期望值 + 势能期望值 最可几的半径不等于半径的期望值 最可几的动量不对应动能的期望值 √ 3.量子力学中的力学量(4/6) ? 3.6 设 时,粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能 (1) 确定未知常数 A 解: ? (2) 平均动量 (3) 平均动能 由箱归一化得到未知常数,然后具体分析中令箱长 分析: 趋于无限大;对称一维波函数的平均动量为零,平 均动能不为零 √ 3.量子力学中的力学量(5/6) ? ? 3.6 的另一解法,利用 (1) 求 y(x) 的复数形式 解: (2) 求 (3) 求 (4) 求 √ 3.量子力学中的力学量(6/6) ? ? 3.11 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解: (1) 坐标的期望值 (2) 坐标平方的期望值 (3) 测不准关系 分析: 由箱归一化得到未知常数,然后具体分析中令箱长 趋于无限大;对称一维波函数的坐标期望值为零, 坐标平方的期望值不为零;自由粒子的测不准关系 为无限大 √

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